阶乘是什么_阶乘的基本概况

所谓阶乘，就是指：

我们规定，，下面是十以内的阶乘列表。

自然数n 阶乘n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800

说来也奇怪，「把前面正整数都乘起来」，这似乎是刚学乘法的小朋友会提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？

阶乘与计数原理

数学的世界总是出人意料地好玩，这看似是一个「玩笑」，然而在组合数学中，阶乘是一个基本而又关键的概念。从一个最基本的问题出发：

★ 把个不同的小球排成一列，总共有多少种排列方法？

由计数乘法原理，我们按照排序逐个选取小球：排在第一个位置的小球的选取方法有种，排在第二的小球只能在剩下的个小球中选取……于是最终的答案正是（注意这个叹号不是在感叹～）

顺便我们介绍组合的概念：从个不同的小球中选取个小球的方式有多少种，我们将这个问题的答案记为

在这里我不得不提及排列中著名的「错排问题」：

★ 邮递员将封不同收件人的信，全部放错邮箱的情况数？

通过简单的容斥原理

可以计算。其中表示集合的元素个数。

在错排问题中，我们可以设表示第个邮箱放对信的全部情况，于是信都投错的情况恰是(De Morgan定律)

由上述所说的全排列容易计算：

……

利用上面已知的信息，代入容斥原理计算公式可得

再由集合互补的关系可得

这就是错排问题的答案。

进一步，我们求错排的概率的话——

随着信件数的增加，这个概率会趋于一个常数

也就是说当充分大时，这位粗心的邮递员全部投错邮箱的概率居然高达！（这是一个表示惊叹的叹号）

从这个问题就看得的出，阶乘和自然对数的底有着极为深厚的渊源，顺便提一下一个著名的关于的级数表达式

如果了解一点微积分的同学一定知道的重要性，它的背后是一部波澜壮阔的微积分历史，建议大家看以色列知名科普作家Eli Maor的《e的故事：一个常数的传奇》。

阶乘与初等数论

关于阶乘的故事还有很多，接下来我们从初等数论的角度谈一谈。

根据阶乘的定义，我们知道当时，一定是合数，于是自然就会产生试图对其进行质因数分解的想法。有这样的公式吗？还真有——

这个古怪的公式提供了质因数分解中质数的指数的算法，习惯上使用如下符号表示

这个公式的证明不难，主要是利用了取整函数的特性。

★ 既然大于的阶乘是合数，那它有没有可能是一个完全平方数？答案是：否。

利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。

实际上我们只要证明：不超过但离最近的质数，有

证明：分两种情况：

若（质数集合），则命题显然；

若，设是不超过却离最近的质数，现在只需证明即可，于是便有

若不然，则满足存在的原因是伯特兰定理（Betrand's Theorem）。如此一来， 的出现与的极大性相矛盾（ 离更近）. 所以大于的阶乘皆非完全平方数.

提起阶乘和素数，不得不说威尔逊定理(wilson's Theorem)——

★ 正整数是质数的充要条件：

因为文章篇幅所限，还有大量关于阶乘的初等数论的结论就不一一列举了。

阶乘与高等数学

接下来关于阶乘的内容涉及大量微积分的内容，我们就点到为止。

首先关于阶乘首要的问题便是究竟有多大？毕竟阶乘运算并不属于我们所熟悉的初等函数（「幂指对三反」的四则运算及其复合，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数），我们特别想知道阶乘的基本初等函数的表达式。于是斯特林公式（Stirling's approximation）应运而生

虽然这是一个渐近表达式，但是足以应付常见的极限问题。在《阶的估计基础》(潘承洞、于秀源著)中有更为精确的公式与推导过程。

阶乘最关键的发展，毫无疑问归功于欧拉引入的积分，后世称之为欧拉第一积分：

欧拉积分所定义的函数叫伽马函数。非常神奇的是，这个函数正是阶乘的「连续光滑版本」，即

由伽马函数的定义，通过一系列分析的手段可以得到斯特林公式；当然，最引人瞩目的便是阶乘和再次产生了奇妙的缘分。

伽马函数实际上还可以推广为复变函数，并且其具有某种深刻的对称性——余元公式：

——阶乘和圆周率也产生联系了。后来大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系在了一起：

毫无疑问，泽塔函数是解析数论的中心，黎曼猜想至今是人类悬而未决的重大猜想。关于黎曼猜想推荐大家阅读《素数的音乐》（Marcus du Sautoy），内容跌宕起伏十分精彩。

在维球体积公式中，也有伽马函数（阶乘）的倩影：

我在专栏里曾写过一篇文章《来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型》[

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45755600]，其中考虑的是这样一个问题

★ 设单位球中的点，考虑投影映射，于是投影至一维直线上，形成的密度函数有何特点？

从图像中就可以看出密度曲线是标准的钟形分布，最后我在文中证明了其与正态分布的联系：

而伽马函数（阶乘）依然起到了枢纽的作用，并且我们再次看到了老朋友.

总结

尽管学过乘法的小学生就可以计算阶乘，然而阶乘的身上仍然充斥着未解之谜。本文从中学生较为熟悉的排列组合以及初等数论入手，然后又介绍了其「高阶版本」——伽马函数，展示了其在高等数学中无处不在的身影，体现出数学一以贯之的美感。